運氣好有罪嗎？
"運氣好當然無罪，但兩期統一發票可中獎24張，這樣的運氣好到什麼地步？"
撰文╱黃文璋
今年2月27日《中國時報》有一則標題是〈機率十億分之一 咦？同一店連中24張發票〉的新聞。統一發票每兩個月開一期，去年3~6月的兩期裡，有對葉姓夫婦共中了24張普獎。目前普獎的中獎率0.005，去年那時僅0.003，即平均每1000張才3張中普獎（下文簡稱中獎）。中了這麼多張，遂引起國稅局注意。國稅局指出：「葉姓夫婦24張中獎發票都在同一家便利商店開出，按照數學教授的計算，機率只有十億分之一，而且兌獎的發票也要夠多。」葉姓夫婦面對國稅局的查核，則反駁：「運氣好難道有罪嗎？」他們認為國稅局顯然是採取「有罪認定」。
其實國稅局並非特別找葉姓夫婦麻煩，早在2004年10月，台東有人便因在同一期裡中獎8張，而被國稅局約談，國稅局認為「這是合理的懷疑」。究竟兩期中獎24張，算不算很稀奇？國稅局是否大驚小怪？那十億分之一的機率，又是如何求出？
首先，由於平均每1000張發票只有3張中獎。因此若擁有8000張以上的發票，則平均可中24張以上，這時便可理直氣壯了。在3~6月共122天中，一個家庭累積8000張發票，即平均每天65張以上，且要來自同一家商店，恐怕無人相信這些發票皆因購物取得。葉太太曾在這家便利商店上班過，公司規定顧客沒拿走的發票不可私吞，若侵佔消費者的發票，公司將提出控告。葉姓夫婦既說不出如何合法取得令人難以置信的巨量發票，也不願承認發票是侵佔而來，只能歸之於運氣好。但你知道這樣的運氣，好到什麼地步嗎？
就不要管8000張了，因沒人相信會有這麼多張發票。假設葉姓夫婦四個月內累積1000張發票，已經很驚人了，因平均每天得有8張以上，連向親友蒐集都不易，不要忘記發票還是來自同一商店。則中獎24張，或者放寬些，至少中24張的機率有多大？此問題相當於重複做1000次試驗，各試驗相互獨立，每次成功（中獎）的機率為0.003，想求成功24次以上的機率P。成功幾次，自然是隨機的，有二項分配，大家在高中數學裡都學過。P值可以算，但一堆組合數及次方，恐令人退避三舍。這時可採用高中數學裡也教過的中央極限定理，以常態分配來近似。只是仍沒那麼容易求出。
怎麼算也別說了，上述1000次試驗，成功數的期望值是3，標準差為2.991開根號，即約1.73。成功數至少24，比期望值多21以上，也就是大了至少12個標準差。平常我們說超過3個標準差，就已經很極端了，如今可是超過12個標準差。一般常態分配的機率值表，只列到3個標準差，無法利用來得到P。但借助一些近似公式，可得出P值約為3.2×10-34。此值到底多小？對42取6的樂透彩，每張彩券中頭獎的機率約為524萬分之一。放大一點，就算千萬分之二好了，即2×10-7，這樣的中獎機率實在非常低，若有人宣稱他每期只買一張樂透，卻連續五期中頭獎（機率差不多就是P），你覺得無人會起疑嗎？
運氣好當然無罪，只是在無罪推定原則下發生極不尋常的事件，當然會被人高度懷疑。發票事件的當事人，該評估是否能讓人相信中獎那麼多，純粹僅是好運氣。
最後來看那十億分之一的機率如何求出？我們不曉得。讀者大約也已理解了，在不知擁有幾張發票的情況下，並無法算出中獎24張的機率。從報紙上籠統的字眼「兌獎的發票也要夠多」，我們不禁也要「合理懷疑」：新聞中那位數學教授，要嘛唬人，要嘛是記者虛擬的，該教授根本不存在。
